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Pro Letramento Matematica 9

Fasciculo 3
Espaço e Forma
Apresentação do Fascículo 3
Para organizar este fascículo voltado ao estudo de espaço e forma, recorremos às orientações
dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997), de onde destacamos os seguintes aspectos
conceituais e procedimentais:
• localização e movimentação no espaço a partir de diferentes pontos de referência;
• observação e reconhecimento de formas geométricas presentes na natureza e nos objetos criados
pelo ser humano;
• exploração e criação de situações que envolvam formas geométricas.
A exploração do tema busca respeitar as diferentes manifestações da cultura. Procuramos
problematizar os espaços de convivência e a Geometria presente nos diferentes ofícios e também
nas produções artísticas.
Além de propor situações para estudo e discussão, este trabalho pretende promover a reflexão
a respeito do que já vem sendo realizado por você, professor ou professora, na escola. Por isso,
sua participação neste estudo é fundamental, socializando experiências em que você obteve sucesso,
bem como trazendo questões em que você encontrou dificuldades. Acreditamos que estas
práticas e o seu envolvimento com este trabalho possam qualificar sua ação docente.
O presente fascículo está organizado em um roteiro de trabalho a ser desenvolvido em grupo e
outro individual. Este último está subdividido em três partes: as duas primeiras retomam e ampliam
as questões do trabalho em grupo; a terceira parte encaminha a discussão sobre frações,
tema do fascículo 4. Cada uma delas é constituída de seções com tarefas e questões que você
realizará em casa para depois partilhar com seus colegas de grupo e tutor.
Desejamos que este estudo, além de colaborar com o aperfeiçoamento de sua prática docente,
seja prazeroso, contribuindo para o seu crescimento pessoal.
Bom trabalho!
 
Fascículo 3 - Espaço e Forma

Roteiro de trabalho para o terceiro encontro
Pensando juntos
Estudamos anteriormente os números naturais e seu uso no dia-a-dia. Da mesma forma, a nossa
localização e orientação nos espaços cotidianos podem se constituir em objeto de estudo, fazendo
uma preparação para representações do espaço, de forma que seja possível identificar figuras
geométricas.
Questão 1: Em suas aulas de matemática, vocês exploram a localização e a orientação do
aluno em algum espaço do cotidiano?
Construindo a maquete
Tarefa 1
Para a realização desta primeira tarefa, serão necessários os seguintes materiais:

quatro folhas em tamanho ofício justapostas, compondo uma nova folha, com
dimensões de aproximadamente 42 cm x 60 cm; embalagens diversas como, por
exemplo, caixinhas e latinhas, além de canetinhas ou lápis coloridos.Sobre esta folha de papel vamos isopor estas embalagens que poderão representar um espaço de convivência com casas, igreja e escola ou também equipamentos como automóveis,brinquedos ou bancos de praça. Lembramos que
 no trabalho com crianças dos primeiros anos do ensino fundamental, a preocupação com a escala
não é tão rigorosa. Ou seja, nem sempre as crianças têm preocupação com que a maior
caixinha represente o maior prédio do espaço representado. Já vocês professores, no trabalho com o grupo de estudos, podem dar maior atenção à escala. Para demarcar os caminhos, ruas, calçadas, esquinas, canteiros e jardins ou demais detalhes que o grupo considerar importantes, usem as
canetinhas e os lápis com muita criatividade, procurando transformar esta composição numa bela maquete.
Agora vamos fazer uma exploração de localização e orientação por meio de
deslocamentos nesta maquete. Um dos componentes do grupo escolhe um
ponto de partida e um ponto de chegada e outro colega do grupo dá asorientações de um possível trajeto para um deslocamento de um ponto ao outro,

dizendo, por exemplo: Ande duas quadras para frente, dobre à direita e ande
mais três quadras para frente.
Questão 2: Que cuidados aquele que dá a orientação precisa tomar? Escolhendo o mesmo

trajeto, a tarefa de dar a orientação é mais complexa para o colega que está ao lado ou
para o colega em frente? Por quê?
 
Tarefa 2
Trabalhando com a representação do espaço de convivência


Para dar continuidade à tarefa, a base dos “prédios” será contornada com uma
canetinha ou um lápis, ficando representados diferentes polígonos. Atenção:
Não se esqueça de identificar nos polígonos os “prédios” que estes
representam. As embalagens serão retiradas para serem utilizadas
posteriormente na 3ª tarefa, ficando apenas representado, no plano, o espaço
de convivência, visto de cima.
Quadriculando esta representação, é possível transpô-la para uma folha de
papel quadriculado de tamanho menor. Este trabalho de transpor de um
quadriculado maior para um quadriculado menor, mantendo a localização do
traçado da base dos prédios, será uma redução da representação inicial. Esta
redução manterá a proporcionalidade entre as representações.
Se o primeiro quadriculado é composto por quadrados de 3cm de lado e o
segundo quadriculado, para onde vamos transpor a figura, é composto por
quadrados de 1cm de lado, estamos trabalhando com uma redução. A razão
entre as medidas do desenho e as medidas originais, ambas expressas na
mesma unidade, denominamos de escala. No nosso exemplo, a razão 1:3 (lê-se
um para três) significa que cada 1cm no novo desenho está representando 3cm
da figura original.
Questão 3: Na realização da tarefa, qual foi a escala utilizada?
Questão 4: Em que outras situações se faz uso de escala?

Questão 5: O que significa uma escala de ampliação?
Atividade em dupla
De posse da representação do espaço de convivência, dê orientações para o deslocamento, por

exemplo, a partir da escola, supondo que esta faça parte deste espaço. Ao final destas orientações,
pergunte ao colega qual é o ponto de chegada. Esta atividade de movimentação pode ser
enriquecida com a inserção de novas condições como, por exemplo, não permitir a passagem
por uma determinada rua.
Tais experiências não convencionais em matemática merecem ser realizadas, pois se constituem em
situações vivenciadas por todos nós e que, nesta tarefa, receberam um tratamento geométrico.
Tarefa 3
Classificação de sólidos geométricos

Retomando as embalagens utilizadas anteriormente na maquete, propomos que
estas sejam agrupadas segundo critérios estipulados pelos participantes deste
estudo.
Questão 6: Quais foram os critérios adotados pelo grupo para separação das
embalagens? Quantos agrupamentos formaram?
Na continuidade, propomos a separação das embalagens em apenas dois grupos,
numa tentativa de se chegar aos que “rolam” e “não rolam”. Em outras palavras,
deseja-se identificar dois grupos de sólidos geométricos: os corpos redondos (que
rolam) e os poliedros ( que não rolam).
Nesta tentativa, podem surgir dificuldades em relação à classificação de objetos
redondos e poliedros, uma vez que se faz uso do termo "rolar lápis" para um lápis
sextavado que não é um corpo redondo. Para contribuir com essa discussão,
sugerimos que as crianças sejam incentivadas a perceberem as diferenças entres
estes objetos por meio do tato. Ao comparar a superfície dos objetos, através do
tato, ela também tem condições de fazer esta classificação.
É importante a percepção de que existem objetos que se assemelham a cilindros,
cones, cubos, prismas e pirâmides que ajudam a reconhecer o uso da geometria
o cotidiano para nomear objetos, percebendo suas propriedades.
Observando os poliedros, é possível identificar que as faces que os compõem são
figuras planas. Cada colega do grupo pode escolher um poliedro para contornar
com lápis ou caneta, reproduzindo no papel, em desenho, suas faces.
Denominamos estas faces de polígonos. Lembramos que o termo "polígono"
advém do idioma grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon)
Caso seja de interesse do grupo, pode-se aprofundar a nomenclatura das figuras
geométricas planas e espaciais. No entanto, cabe ressaltar que este não é o foco
de estudo dos anos iniciais. Nessa tarefa, o objetivo foi partir do espaço que é de
domínio de todos nós para, posteriormente, introduzir a Geometria plana, por meio
de suas propriedades.
Texto para Leitura - A importância do ensino da Geometria nos anos iniciais
Os sentidos atribuídos ao ensino da Geometria nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, de um modo geral, estão vinculados a aplicação de fórmulas, a
desenhos (em preto e branco) de figuras geométricas e a exploração de
teoremas, constituindo-a como um conjunto de “verdades eternas” sem relações
com a cultura dos estudantes. Talvez tais concepções estejam presentes entre nós
pelo fato de a Geometria ter estado praticamente excluída de nossa trajetória
escolar, ou então por ter sido pouco enfocada – ainda encontramos livros
didáticos que exploram esta área apenas nos capítulos finais, gerando a noção
de que é um estudo para “o final do ano letivo”, pouco relevante para a
formação dos estudantes.
Cabe assinalar que a Geometria ensinada nas escolas se sustenta, de um modo
geral, na denominada “Geometria Euclidiana”, produzida pelo matemático grego
Euclides (em 300 a.C., aproximadamente), o qual buscava sistematizar o saber
geométrico através da enunciação de definições, postulados e axiomas para adedução de teoremas. Este sistema constitui-se, então, no modelo capaz de gerar

e classificar os saberes geométricos, os quais, uma vez “provados”, passam a ser
considerados como “verdadeiros” e inquestionáveis. A Geometria escolar,
baseada no modelo euclidiano, também passa a agregar conhecimentos tidos
como universais e absolutos, como se pré-existissem às culturas dos professores e
estudantes.
Outra característica marcante no ensino da Geometria, influenciada também
pelo sistema euclidiano, é a linearidade. Os Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1997), nesta direção, destacam que a concepção linear ainda está muito
presente nas práticas pedagógicas desta área ao privilegiar o trabalho centrado
na seqüência: ponto, reta, linhas, figuras planas e, posteriormente, os sólidos
geométricos. Tal seqüência se contrapõe, geralmente, às experiências
vivenciadas pelos estudantes na exploração do espaço em que vivem. Desde
cedo, as crianças manipulam muitos objetos geométricos (como bolas, caixas,
latas) e, posteriormente, centram sua atenção às figuras geométricas planas,
vértices e arestas que os compõem, mostrando o quanto a seqüência estipulada
pela escola caminha na direção oposta à da vida.
Buscando justamente romper com as marcas da linearidade e aridez que ainda
caracterizam muitas práticas pedagógicas na área da Educação Matemática,
principalmente na Geometria, enfatizamos a relevância de uma educação
geométrica capaz de auxiliar nossos estudantes no entendimento do ambiente
que os cerca, aguçando sua percepção para examinar e organizar o próprio
espaço que habitam. Como enfatiza Fonseca et al. (2001), antes de freqüentarem
a escola, os estudantes já exploram o espaço e detêm um conhecimento sobre o
mesmo – através de suas brincadeiras e da própria construção de brinquedos, de
passeios realizados e também quando auxiliam seus familiares em alguma
atividade de trabalho – cabendo a você, professor ou professora, ampliar e
sistematizar estes saberes para que “a criança melhore sua percepção espacial,
visual e tátil, identificando as características geométricas desse espaço,
preendendo as relações espaciais entre objetos nesse espaço” (IBIDEM, p. 47).
Você, professor ou professora, poderia então se questionar: Por que ensinar
Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Qual é a relevância de uma
educação geométrica? Para sinalizar algumas respostas, no sentido de
aprofundarmos uma discussão e reflexão sobre nossas próprias práticas
pedagógicas, acompanhamos Fonseca et al. (2001) quando problematizam tais
questões. Para as autoras, além da dimensão utilitária como a resolução de
problemas da vida cotidiana, o estudo da Geometria se torna importante também
como meio de facilitar as percepções espaciais dos estudantes, contribuindo
para uma melhor apreciação das construções e dos trabalhos artísticos, tanto dos
seres humanos quanto da natureza.
Finalizamos destacando a relevância de proporcionarmos práticas pedagógicas
centradas no estudo e na exploração do ambiente que nos cerca, fazendo uso,
então, de conhecimentos geométricos. Para isto, além de enfocarmos os saberes
presentes nos livros didáticos, poderemos enfatizar, analisar e problematizar
aqueles gerados pelos próprios estudantes e seus familiares nas diferentes
práticas sociais que produzem e que envolvem noções geométricas. Desta forma,
estaremos inserindo na escola, não só outros saberes matemáticos que
enriquecem nossas práticas pedagógicas, mas, principalmente, elementos da
cultura e da vida de nossos estudantes.
Nossas conclusões PPara preparar coletivamente um relatório

deste dia de trabalho, não se esqueça de
discutir:
• Pontos a destacar na proposta de trabalho
realizada;
• Uma breve avaliação do trabalho do
grupo.
Relatório

de memória do
grupo de trabalho
Entregue este relatório e
todos os materiais
selecionados ao seu tutor.

Pro Letramento Matemática 8

Seção 4: O algoritmo da multiplicação


Dividiremos a etapa de aprendizagem do algoritmo da multiplicação em três estágios. Trabalhar
com os alunos diferentes registros e representações pode ajudá-los a compreender as regras
do algoritmo. Como na adição e na subtração, enfatizamos que o algoritmo (às vezes chamado
de “conta em pé”) só precisa começar a ser utilizado para multiplicações nas quais um
dos fatores tem mais do que um algarismo. Multiplicações entre números de apenas um algarismo
são fatos básicos (tabuada) e o algoritmo não ajuda a encontrar seu resultado.
1° estágio – Observe como podemos representar a multiplicação de 36 por 4.
Faça a seguinte arrumação na conta:

Pergunte aos alunos:
- “Que resultado obtivemos depois que multiplicamos 4 por (30+6)?”
- “O que precisamos fazer com os resultados 24 e 120 para encontrar o resultado desta multiplicação?”

O aluno deve concluir que é preciso somar estes dois resultados parciais, recorrendo ao
algoritmo da adição.
Com apoio de material concreto você pode ajudar seus alunos a compreenderem que multiplicamos
6 unidades por 4 e 3 dezenas também por 4 e que, depois, juntando os resultados encontrados
(120 e 24) chegamos ao resultado, 144.
36

36 x 4




A partir destas experiências, resta apenas associá-las ao registro formal do algoritmo da multiplicação, escrevendo os resultados parciais de forma conveniente para o uso do algoritmo da adição.


2° estágio – Incentive o cálculo mental


Nesse estágio, a criança já deve ter fixado todo o desenvolvimento do

processo para que possa efetuar mentalmente algumas operações.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Por exemplo:
Para multiplicar 32 por 6, efetue a operação com a criança, mostrando que ao
multiplicarmos o 6 por 2, escrevemos como resultado parcial apenas as duas
unidades, guardando mentalmente a dezena do produto 12. Explique que esta
dezena será adicionada às outras dezenas do produto, quando multiplicarmos
as 3 dezenas por 6.

3° estágio – Multiplicação por números de dois dígitos
Nesta última etapa, veremos o algoritmo da multiplicação de dois números, cada um deles representado
no SDN por dois algarismos. Neste momento, as crianças já devem ter uma base
para aprender o algoritmo, o que inclui um mínimo de novas técnicas.
Por exemplo:
Vamos calcular o produto de 43 por 27.Iniciamos por fazer o produto 7 x 43.

Faça essa etapa com as crianças, mostrando que estamos multiplicando sete unidades por 43 e que o processo é igual ao da etapa anterior.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Efetue, agora, o produto das duas dezenas que será adicionado ao produto
das unidades. Dê muita ênfase ao valor do 2 no número 27, ou seja,
enfatize que ele representa 2 dezenas; logo, nessa segunda multiplicação,
estaremos multiplicando o 3 por duas dezenas e obteremos 6 dezenas,
que devem ser colocadas na ordem das dezenas. Em seguida, mostre
que ao multiplicarmos as duas dezenas por 4 dezenas acharemos 8
centenas, as quais devem ser colocadas na ordem das centenas. O desenvolvimento deste algoritmo deve ser feito através de muitos e variados exercícios.


TI 11
Desenvolva as etapas do primeiro estágio para o produto 67 x 8

Seção 5: O algoritmo da divisão por subtrações sucessivas
O processo das subtrações sucessivas é uma opção para se efetuar a divisão, e tem como ponto
de partida a relação que existe entre a subtração e a divisão. Optamos por apresentá-lo neste
fascículo para enriquecer e ampliar seu conhecimento sobre a divisão. Consideramos que este
algoritmo também é uma boa opção para alunos que tenham dificuldades na compreensão e utilização
do algoritmo da divisão, apresentado através dos processos longo e abreviado. Quando
o processo das subtrações sucessivas é bem explorado, a criança consegue efetuar as etapas necessárias
com segurança e estabelece mais facilmente relações com o algoritmo longo da divisão,
o que contribui para a compreensão de todo o processo.
Apresente o esquema do algoritmo (escreva apenas o 18 e o 3) e converse sobre a forma como
ele se apresenta. Paralelamente, dê 18 objetos para os alunos e peça que formem grupos de três
elementos. Peça que tirem um grupinho de três elementos de cada vez, e pergunte.
- “Quantas vezes você tirou grupos de três elementos?” (6)
Numa primeira apresentação do algoritmo pelo processo das subtrações sucessivas
registre com seus alunos cada uma das vezes que retirarem um conjunto
de 3 elementos, fazendo perguntas que relacionem a ação sobre os objetos
e o registro.
- “Como descobriremos quantos objetos você retirou, se você retirou uma
vez 1 conjunto?” (multiplicando 1 por 3).
- “Quantos objetos você tirou?” (3).
- “Que devo fazer para saber com quantos objetos você ficou?” (subtrair 3
de 18).
- “Posso continuar tirando grupos de três, agora que tenho 15 objetos?”
(sim) ... continue ...
- “Agora, que você não pode mais tirar nenhum grupo de 3, responda:
quantas vezes você tirou um conjunto de três?” (6)
- “Que operação você fez para achar essa quantidade?” (adição dos “uns”)

Observação: repita as perguntas até se esgotarem todas as possibilidades de se retirarem grupos de
três, observando as quantidades restantes e fazendo o registro no algoritmo depois de cada pergunta;
não o apresente pronto como está ilustrado acima.Depois de algumas atividades como esta e entendido o processo, pergunte:
- “Será que é necessário tirar apenas um grupo de três de cada vez?”
Peça que os alunos peguem outra vez 18 objetos e que formem alguns grupos de 3 para retirar de uma
só vez. Vamos “fazer de conta” que um aluno sugira começar tirando 4 grupos de 3 objetos de 18.
Registre:
 “Quantas vezes você tirou grupos de 3 elementos?” (4)
- “Que operação você deve fazer para saber quantos objetos tem que retirar?” (multiplicar 4 por 3)
- “Que operação você tem que fazer para saber quantos objetos sobraram?” (subtrair 12 de 18)



A cada passo, continue registrando no quadro o que se faz concretamente:
- “Quantos objetos você tem agora?” (6)
- “Com essa quantidade você ainda pode formar conjunto de 3?” (posso)
- “Quantos?” (2) “Então, quantas vezes você vai retirar um conjunto de 3?”
(duas)
- “Que operação você deve fazer para saber quantos objetos retirou?” (2 x 3)
- “Que operação você deve fazer para saber quantos objetos sobraram?” (6 – 6)
- “Quantos objetos você tem agora?” (nenhum)
- “É possível fazer novos grupos de 3?” (não)
- “Que operação você deve fazer para calcular o número total de vezes em que você retirou
grupos de 3, de 18?” (4 + 2)

Só depois que as crianças estiverem familiarizadas com a técnica do algoritmo, que se baseia

em subtrações repetidas, e utilizarem os fatos básicos já conhecidos, é que estarão prontas a
aprender situações mais complexas da divisão, como por exemplo, uma divisão de 86 por 5.
Escreva no quadro-de-giz:
Pergunte:
- “Alguém sabe quantos grupos de 5 temos no número 86?” (vamos supor que tenham dito 8)
- “Vamos ver se está correta a resposta. Quantos grupos de 5 você formou?” (8)
- “Que operação você deve fazer para saber quantos objetos você tem que retirar?” (multiplicar
8 por 5)
- “Que operação você tem que fazer para saber quantos objetos sobraram?” (subtrair 40 de
86)

- “Quantos objetos você tem agora?” (46)
- “Com essa quantidade, você ainda pode formar grupos de 5?” (posso)
- “Quantos?” (supor que tenham sido 7)
- “Quanto você vai retirar de 46 então?” (7x5 = 35)
- “Que operação você deve fazer para saber quantos objetos sobraram?”
(subtrair 35 de 46)

- “Quantos objetos você tem agora?” (11)
- “É possível ainda fazer grupos de 5?” (sim)
- “Quantos?” (a criança a essa altura deve perceber que, com 11, só é possível fazer 2 grupos de 5)

- “Quantas vezes você retirou agora um conjunto de 5?” (duas)
- “Que operação você deve fazer agora para saber quantos objetos sobraram?”
(subtrair 10 de 11)
- “Quantos objetos você tem agora?” (1)
- “É possível ainda fazer grupos de 5?” (não)
- “Que operação você deve fazer para calcular o número total de vezes em
que você retirou grupos de 5, de 86?” (adicionar 8, 7 e 2, obtendo 17)

TI 12
Faça a divisão de 137 por 8 por subtrações sucessivas. Pense em grupos para formar que facilitem suas contas. A partir de suas escolhas, pense em sugestões que você pode oferecer aos alunos para facilitar a tarefa deles.

Observação importante: Pelo processo das subtrações sucessivas, também fica fácil convencer seu aluno que o resto de uma divisão nunca pode ser igual ou maior que o divisor, pois, caso contrário, ainda seria possível fazer mais uma subtração. A criança pode e deve chegar, ela mesma, a essa conclusão.

Pro Letramento Matemática 7

Fascículo 2 - Operações com Números Naturais

Roteiro de trabalho individual

Durante a próxima quinzena, você vai explorar atividades para ajudar seus alunos a compreenderem e utilizarem corretamente o algoritmo da subtração. Você também vai refletir sobre os conceitos das operações de multiplicação e de divisão, e porque estes conceitos devem preceder os cálculos. Finalmente, você vai explorar o algoritmo da multiplicação e um dos possíveis algoritmos para a divisão.
Leia o texto e faça as atividades. No próximo encontro, você terá a oportunidade de discutir suas reflexões e seus questionamentos no grupo de trabalho.
Parte 1: O Algoritmo da Subtração
Seção 1: Introduzindo o Algoritmo da Subtração
O algoritmo da subtração tem finalidade similar ao da adição, ou seja, sistematizar e facilitar o processo de cálculo. Ele deve ser apresentado quando as crianças já dominarem, com certa segurança, os conceitos associados à subtração, o sistema de numeração, os fatos básicos da subtração e o algoritmo da adição. Novamente chamamos sua atenção para o fato de que a habilidade de utilizar o algoritmo corretamente requer tempo e prática, sendo necessárias diversas experiências preparatórias, variando-se bastante os valores numéricos.
 Para facilitar a discussão das sugestões de atividades, vamos apresentar desde já a nomenclatura associada ao algoritmo da subtração, lembrando que não há sentido em pedir aos alunos que memorizem estes termos. De um modo geral, o uso correto da linguagem matemática não deve ser o foco principal. Os alunos precisam compreender que os termos desta linguagem nos ajudam a conversar, comunicar e defender nossos pensamentos e nossa forma de resolver problemas e cálculos. No entanto, você, professora ou professor, deve utilizar a linguagem matemática corretamente. Deve ainda estimular o debate e o registro, pois essas atitudes farão com que os alunos assimilem, aos poucos, o vocabulário que for relevante a cada momento de sua aprendizagem.

TI 1
Você acha que o algoritmo da subtração ajuda os alunos a efetuarem cálculos como “8–3=” ou “9–4=”? Explique sua resposta.



Seção 2: O algoritmo da subtração e a ação de retirar


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Ao iniciarmos o algoritmo da subtração, devemos usar, como na adição, materiais de contagem e o QVL. Lembramos que, dentre as ações associadas à subtração, a mais natural para a criança é a de retirar e, por isso, vale a pena iniciar o estudo do algoritmo da subtração usando esta idéia.
Para representar com material concreto a idéia de retirar, a criança deve separar, de seu material de contagem, apenas a quantidade que representa o minuendo. A seguir, ela deve retirar deste grupo de objetos a quantidade que corresponde ao subtraendo. A ação de retirar, da coleção de objetos que representa o minuendo, uma quantidade correspondente ao valor do subtraendo só faz sentido quando trabalhamos com apenas uma mesma coleção de objetos. Retiramos algo daquilo que temos!
Por meio de exemplos, vamos estudar como atividades que exploram a ação de retirar podem ser desenvolvidas concretamente.
Exemplo 1 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Enuncie, oralmente, uma situação–problema envolvendo a ação de retirar. Como exemplo
 vamos retirar 13 de 25. Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em um QVL, como na figura
 ao lado. Você pode construir em papel pardo, por exemplo, quadros com apenas duas linhas para que os alunos, ou grupos de alunos, trabalhem independentemente.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Diga aos alunos:


- “Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos”.
- “Mude para a linha debaixo os palitos que representam a quantidade que você precisa tirar”.
- “Quantos palitos permaneceram na primeira linha?”
- “Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou de 25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o resto!)”.
Por meio de conversas como a que exemplificamos, mostre às crianças que a quantidade de palitos da segunda linha representa o que foi retirado (subtraendo), e que a quantidade que sobrou na primeira linha é o resultado da operação. Logo: 25–13=12.

Trabalhando com material concreto você pode propor diversas situações. Isto vai ajudar seu aluno a perceber a seqüência de ações que compõe o algoritmo. A representação, no caderno, dos passos realizados com material concreto também é importante para que o aluno, aos poucos, compreenda a relação entre estes passos e o registro formal do algoritmo.
Usando o exemplo anterior, veja como você pode estimular esta associação entre o concreto e a representação escrita.
Após a representação do minuendo:
- “Vamos representar este número no caderno?”
- “Façam um QVL e anotem esta quantidade de palitos”

Após a retirada dos 13 palitos (o subtraendo):
- “Vamos anotar agora, abaixo do número 25, a quantidade de palitos que foi retirada.”


E para finalizar:


- “Agora vamos fazer um traço para separar o resultado final e anotar quantos palitos sobraram depois da retirada.”


Exemplo 2
É possível usar estas idéias em uma subtração na qual é preciso desfazer as dezenas rearrumando o minuendo. Crie uma situação problema para os alunos subtraírem 5 de 32.
Iniciamos por arrumar o minuendo na tabela. Explique aos alunos que eles só possuem 2 unidades não agrupadas e por isso não podem retirar 5 unidades. No entanto, é importante que eles percebam que o número 32 possui trinta e duas unidades, e o que “atrapalha” a realização concreta da retirada é apenas a forma como os objetos estão organizados. Assim, os alunos devem concluir que será preciso desfazer uma das dezenas (que contém 10 unidades). Após desamarrarem uma dezena e a passarem para a casa das unidades, os palitos ficarão com a seguinte disposição



o mesmo (32). A decomposição é que mudou: a forma inicial (3 dezenas e 2 unidades) foi alterada

para: 2 dezenas e doze unidades.
Pergunte aos alunos:
- “O número mudou?” (não) “Então, o que mudou?” (a forma de decompor)
- “Quantas unidades estão agora registradas na primeira ordem?” (12)
- “E agora, podemos tirar 5 unidades de 12 unidades?” (sim)
- “Com quantas unidades ainda ficamos?” (7)
- “Com quantas dezenas ainda ficamos?” (2)
Bem, agora é possível retirar 5 palitos dos que ficaram na ordem das unidades e o material fica
com a disposição mostrada no quadro ao lado Observe que o registro escrito dos passos da operação pode ou não incluir a passagem na qualuma dezena foi desagrupada em 10 unidades.
Varie os materiais de contagem,pois isto ajuda o aluno a compreender o processo sem se fixar no
 material, o que possibilitará a necessária abstração.

TI 2
Para ilustrar o uso de um outro material, vamos subtrair 17 de 35. Faça você as etapas, utilizando o QVL e, por exemplo, o material dourado.

O uso de material concreto facilita bastante a compreensão dos algoritmos e ajuda a consolidar a aprendizagem das características de nosso sistema de numeração. Numa etapa seguinte, você pode propor exemplos nos quais o zero aparece na casa das dezenas, como tirar 25 de 208.  Você poderá verificar como o uso de material concreto ajuda em situações como esta que costuma ser considerada difícil na operação de subtração.

TI 3
Faça você mesmo as etapas da subtração 208–25, usando o QVL e uma representação de material concreto.

Destacamos que a professora ou o professor deve, sempre que possível, conhecer e apresentar
aos alunos mais de um procedimento. Possibilitar ao aluno a chance de experimentar diferentes
ações é fundamental para que ele desenvolva o senso crítico e tenha o direito de escolher a estratégia
com a qual mais se identifica, ou aquela que possibilita compreender melhor o que está
fazendo. Muitas vezes, uma criança com dificuldade de compreender um procedimento ou conceito,
resolve este obstáculo inicial quando é apresentada a outros caminhos ou formas de raciocinar.
Assim, sugerimos que você pesquise sobre como as ações de comparar e completar podem
auxiliar o desenvolvimento de estratégias de cálculo para efetuar uma subtração.

Parte 2: A multiplicação e a divisão


Seção 1: As operações de multiplicação e divisão
Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são fundamentais para o desenvolvimento
de muitos outros conceitos aritméticos. Caso não domine o conceito da operação, a criança
conseguirá, no máximo, memorizar os fatos básicos e realizar de forma mecânica o
algoritmo posteriormente. A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança
ficará clara diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre qual operação
realizar. Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números naturais desempenharão
um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da Matemática, como os
conceitos de números fracionários e decimais.Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas em experiências concretas,nas quais os alunos terão oportunidade de construir e, com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. A professora ou o professor deve proporcionar à criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela chegue à representação de seus fatos básicos, compreendendo o significado da operação.

TI 4
A criança, antes mesmo de ter iniciado o estudo das operações de multiplicação e divisão, já pode ter contato com problemas que possam ser resolvidos apenas por adição e subtração, mas que já tragam algumas das idéias necessárias para conceituar as novas operações. Exemplifique uma
 atividade que prepare para a multiplicação e uma que prepare para a divisão.

Seção 2: Ações associadas às operações de multiplicação e divisão

A multiplicação de dois números naturais pode ser trabalhada sob dois enfoques:
a) como adição de parcelas iguais
Por exemplo:
3 x 2 = 2 + 2 + 2

b) como raciocínio combinatório, no qual verificamos quantas possibilidades existem de formar pares com duas coleções Por exemplo:
- “Se um menino tem 2 calças e 3 camisas, de quantas maneiras ele poderá se vestir?”
2 x 3 = 6



Considerando, porém, que o enfoque da multiplicação como adição de parcelas repetidas é mais natural, a professora ou o professor deve inicialmente se prender a experiências deste  tipo.
TI 5
Pesquise em livros didáticos e apresente pelo menos dois exemplos de situações-problema envolvendo o raciocínio combinatório. Para cada um deles, monte um esquema de solução.

A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada

divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.
a) Divisão repartição:
A ação de repartir se encontra em situações nas quais é conhecido o número de grupos
que deve ser formado com um certo total de objetos, e é preciso determinar a quantidade
de objetos de cada grupo.
Por exemplo:
“12 lápis precisam ser separados em 4 subconjuntos iguais. Quantos lápis haverá em cada
subconjunto?”
b) Divisão comparação ou medida:
Ações que envolvem este tipo de divisão são encontradas em situações nas quais é preciso
saber quantos grupos podemos formar com um certo total de objetos, sendo conhecida a
quantidade que cada grupo deve ter.
Por exemplo:
“12 lápis serão separados em subconjuntos de 3 lápis cada um. Quantos conjuntos serão feitos?”
Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis
em 4 caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isto permite a aplicação de uma estratégia simples:
ela pode distribuir 1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após esta ação ela verifica,
então, quantos lápis ficaram em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança
tem os mesmos 12 lápis sobre a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela
deverá aplicar outra estratégia: separar seu material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade,
“quantos cabem”, ou seja qual a quantidade de grupos formados.
TI 6
Pesquise em livros–texto e apresente pelo menos dois exemplos de situações– problema envolvendo a divisão-comparação. Para cada um deles, monte um esquema de solução.

Seção 3: Sugestões de Atividades
• A Bota de Muitas Léguas
Material necessário:
Folha com várias retas numéricas e dois conjuntos de cartões numerados (inicialmente use apenas números de 1 a 5 – em um segundo momento, acrescente valores maiores).
Proponha (ou explore um conto):
- “Vamos, agora, brincar com uma bota mágica.”
- “É uma bota imaginária que dá pulos do comprimento que quisermos”.
Peça a um aluno que sorteie um cartão numerado. Este primeiro número sorteado indica o número de pulos que a “bota” dará.
Peça a outro aluno que sorteie um cartão numerado. Este segundo número sorteado indica o comprimento de cada pulo. Inicialmente, desenhe uma “reta” graduada no chão (ou use uma faixa de papel graduada). Um
terceiro aluno, brincando de ter calçado a bota, dará os pulos sobre a “reta”, e a turma verificará
o número no qual ele parou.
Você pode dividir a turma em duas equipes e propor que disputem quem calçou a bota que levou
mais longe.
Por exemplo:



Neste exemplo, ganha a equipe B, cujo representante, partindo do zero chegou ao 8, um número

maior do que 6, que corresponde ao valor atingido pela equipe A partindo do zero.
TI 7
Aplique uma atividade como esta em sua turma e faça um pequeno relato dos resultados.
• Usando a reta numérica e a Bota de Muitas Léguas


a) Primeiro tipo de atividade
Distribua as folhas com as retas numéricas para que os alunos representem os pulos da “bota” utilizando flechas e depois verifiquem em que número a “bota” chegou. (Uma folha pode conter várias retas numéricas, uma para cada jogada). Peça aos alunos que façam o sorteio de dois cartões (ver atividade anterior) e digam para a turma o número de pulos (1o sorteio) e o comprimento do pulo (2o sorteio).
Espere que todos os alunos representem a multiplicação em uma das retas numéricas de suas
folhas e comente com eles os resultados, antes da próxima jogada.
Nas primeiras jogadas, desenhe no quadro-de-giz alguns movimentos da “bota” para orientar
seus alunos. Por exemplo, se o primeiro cartão sorteado for 2 (quantidade de pulos) e o segundo
for 3 (tamanho do pulo), represente e oriente seus alunos a perceberem que: “As flechas dizem
que duas vezes três é igual a seis”.

Você pode aumentar o conjunto de cartões,para introduzir outros fatos básicos, lembrando que as retas devem ser numeradas com todos os resultados possíveis. Por exemplo, se você utilizar cartões numerados até 9, a reta deve ser numerada do zero até 81.

TI 8
Aplique uma atividade como esta em sua turma. Descreva a atividade que você aplicou e faça um pequeno relato dos resultados.
b) Segundo tipo de atividade
Combine com seus alunos uma nova estratégia para o jogo.
Agora, um aluno vai sortear um número, que indicará o comprimento do pulo que a “bota de muitas léguas” pode dar, e você (professora ou professor) dirá um número da reta (múltiplo do número sorteado) onde a “bota” está parada esperando para voltar ao zero (ponto de partida). O jogo é descobrir quantos pulos a “bota” precisa dar. Por exemplo: Um aluno sorteia o número 5 e todos anotam o comprimento do pulo: 5. Então você informa à turma que a “bota” está esperando para voltar, por exemplo, no número 20 (que
 é múltiplo de 5). Os alunos circundam o número 20 na reta e representam os movimentos, agora
em sentido contrário.

TI 9
Aplique uma atividade como esta em sua turma. Descreva a atividade que você aplicou e faça um pequeno relato dos resultados
Quando as crianças já souberem encontrar, sem erro, o número de pulos (de um comprimento

sorteado) necessários para voltar do ponto que você escolher, poderão passar para um novo desafio,
como o da atividade que apresentaremos a seguir:
c) Terceiro tipo de atividade
Desenhe no quadro-de-giz uma das situações representadas na atividade anterior e diga aos alunos
que, agora, flechas em sentido contrário dizem:
- “No comprimento 6 há 2 pulos de comprimento 3”.

Faça outros exemplos e depois repita esta atividade, acrescentando um registro abaixo de cada reta.
Por exemplo:

Comprimento do pulo: 2 (número sorteado) - Número de pulos: 5o comprimento 10 “cabem” 5 pulos de comprimento 2. Aos poucos, você poderá ir substituindo esta frase pelos símbolos matemáticos convenientes, 10 ÷ 2 = 5 ou 10 ÷ 5 = 2.
TI 10
Aplique uma atividade como esta em sua turma. Descreva a atividade que você aplicou e faça um pequeno relato dos resultados.

Pró Letramento Matemática 6

Apresentação do fascículo 2

Antes de você, cara professora ou caro professor, iniciar o seu trabalho no fascículo 2, gostaríamos de relembrar alguns dos pressupostos deste material. Acreditamos que é direito de todo cidadão saber Matemática,ferramenta essencial para que se possa atuar de forma crítica na sociedade. Num mundo cada
vez mais complexo, a escola precisa desenvolver habilidades que permitam resolver problemas, lidar
com informações numéricas para tomar decisões, opinar sobre temas que as envolvem, desenvolvendo
capacidades de comunicação e de trabalho coletivo, de forma independente.
A matemática escolar tem um papel formativo – ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio lógico. É
também uma ferramenta importante para outras áreas do conhecimento, por ter uma linguagem própria
de expressão. O tema deste fascículo – Operações com Números Naturais – tem, nos anos iniciais de
escolarização, um papel central neste processo.
Como no fascículo 1, este material foi estruturado como uma troca entre colegas de profissão. Não temos
a pretensão de esgotar o tema, mas buscamos motivar o colega ou a colega a repensar seus conhecimentos
e sua prática de ensino para estes conteúdos. Esperamos contagiar você com nosso desejo de um
ensino de matemática mais eficiente e mais prazeroso, fornecendo opções para mudança e despertando a
vontade de continuar sempre se aperfeiçoando.
Acreditamos que não basta estar bem treinado para executar procedimentos de cálculo (ou mesmo para
usar calculadoras) se não se sabe que operações devem ser feitas para resolver um determinado problema.
As experiências iniciais de uma criança em tomar decisões sobre que operações utilizar - e em que
ordem - são muito importantes para lhe dar segurança em Matemática pelo restante de sua vida. Só um
ensino de operações que não fique restrito ao treino de procedimentos mecânicos será capaz de levar os
alunos a não precisarem mais perguntar: “que conta eu faço?”, “ este problema é de mais ou de menos?”,
por exemplo.
Assim, ao tratar destes temas, mais uma vez, você tem em suas mãos uma grande responsabilidade. Esperamos que este curso possa ajudá-lo a conhecer e valorizar atividades mais voltadas para a compreensão dos significados e dos “por quês” das etapas dos algoritmos. Frisamos, mais uma vez, que o ensino de Números Naturais e suas operações vai sempre exigir de você m uita reflexão e uma busca constante por melhores estratégias de ensino.
As propostas de trabalho exploradas neste fascículo são oriundas do curso Números Naturais – Conteúdo
e Forma, um curso completo desenvolvido pelo LIMC, que representa a rede de formação continuada
no Estado do Rio de Janeiro. Como dispomos de menos tempo para o tema neste programa, foi necessário
fazer escolhas, assim como no fascículo 1. Procuramos selecionar alguns dos conceitos e idéias fundamentais, que poderão ajudar seus alunos a construírem uma base sólida para continuarem seus estudos.
 Durante a próxima quinzena, busque experimentar as atividades sugeridas neste fascículo. Busque avaliar
 o potencial das propostas para gerar interesse e compreensão, e perceber as possibilidades didáticas e
 necessidades de adaptá-las à sua realidade. Esperamos, ainda, continuar a estimular uma mudança de
 olhar para a produção de seus alunos, valorizando cada passo, para que você possa detectar como ajudálosa superar dificuldades.
 Para finalizar, lembramos mais uma vez que a experimentação, seguida da reflexão e do debate, será o
 principal investimento feito durante seu trabalho com estes fascículos. É a discussão de experiências realizadas nas salas de aula com outras professoras e outros professores que possibilitará que todo o grupo
reflita e compreenda conceitos, ganhando autoconfiança e liberdade criativa. Tudo isso, porém, depende
 muito de você e de um bom clima de trabalho do grupo.
Bom trabalho!
As autoras, Mônica e Beth
 
Fascículo 2 - Operações com Números Naturais

Roteiro de trabalho para o segundo encontro

Pensando juntos

Neste primeiro momento do encontro, sugerimos que vocês troquem experiências envolvendo:
• as tarefas individuais propostas no roteiro de trabalho da quinzena;
• aspectos relacionados com suas aulas e o uso das idéias deste módulo;
• aspectos relacionados com sua formação continuada: dúvidas metodológicas, operacionais ou conceituais.

Tarefa 1
Avaliação conjunta do trabalho desenvolvido na quinzena
Após a discussão, entreguem as tarefas individuais do fascículo 1 e a avaliação conjunta para o tutor.

Trabalhando em grupo

1. Texto para Leitura - Algoritmos

Um algoritmo é um dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma certa tarefa.
Convivemos com vários tipos de algoritmos – alguns são muito simples, como ligar uma televisão (basta achar o botão correto e pressioná-lo); outros mais elaborados, como uma receita culinária (devemos organizar os ingredientes e, em ordem, executar as etapas); há outros, ainda, que exigem um bom tempo de treinamento até que nos sintamos seguros para poder executá-los independentemente, como dirigir um automóvel.
Quando nos deparamos com um algoritmo em nosso cotidiano, é comum precisar de ajuda nas primeiras tentativas de utilizá-lo. Além disso, se não compreendermos o algoritmo, vamos acabar usando-o mecanicamente, sem nenhuma autonomia, apenas seguindo instruções (pense, por exemplo, no formulário da declaração do Imposto de Renda). De forma similar, quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em inúmeras situações do dia-a-dia, que exigem autonomia de decisões sobre “que cálculo fazer” e “como fazê-lo”. Dentre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações ocupam lugar de destaque. Explorando as vantagens do Sistema Decimal de Numeração, eles foram idealizados para permitir a realização dos cálculos com exatidão e com razoável velocidade.

2. O Algoritmo da Adição




Você já teve a oportunidade de analisar atividades que preparam o aluno para adicionar corretamente,
incluindo aquelas voltadas para a compreensão do sistema de numeração – ou seja,estamos propondo adiar um pouco a introdução do algoritmo. Agora, vamos discutir brevemente nossos motivos para propor que você considere esta forma de trabalhar. Em primeiro lugar, a habilidade de utilizar o algoritmo corretamente não se adquire de uma só vez, pois requer tempo e prática. Por isso, o algoritmo da adição só deve ser apresentado às crianças quando elas já dominarem, com certa segurança, o conceito da operação, os fatos básicos e o sistema de numeração.
É importante ainda ficar claro que não estamos fazendo um bom uso do algoritmo quando solicitamos
a uma criança, um “arme e efetue” em adições como “5+2=” ou “8+7=”. Os resultados
destas adições são fatos básicos e o algoritmo da adição não ajuda a criança a efetuar a
operação. Nesses casos, é mais adequada a resolução por meio do cálculo mental (iniciando o
processo de memorização com o auxílio de materiais de contagem). Na verdade, para que a criança
utilize bem o algoritmo quando for operar com as representações dos números dispostas
em colunas, ela precisará de boas estratégias mentais para determinar os resultados das adições
de números de um algarismo.
Finalmente, consideramos que no processo de construção do algoritmo da adição, é recomendável
que os primeiros exemplos já envolvam adições com “reservas”, ou seja, aquelas em que
a soma das unidades isoladas é maior que nove, sendo necessário fazer um agrupamento para a
casa das dezenas. Trabalhando com “reserva” desde o início, o aluno compreende porque é necessário
começar a operar pelas unidades, isto é, da direita para a esquerda, o que contraria
seus hábitos de leitura. Por outro lado, ao trabalharmos os primeiros exemplos sem reservas, o
resultado da operação será o mesmo se operarmos da esquerda para direita ou vice-versa. Tal
estratégia não permite ao aluno perceber que, na utilização do algoritmo, há uma nítida vantagem
em se iniciar o processo pela ordem das unidades.

Tarefa 2


A figura ao lado mostra a utilização de materiais concretos e do QVL para registro do algoritmo da adição
(a) Discutam e escrevam um roteiro explicativo das três etapas realizadas com os palitos.
(b) Descrevam a relação das etapas realizadas com o material concreto e o registro do algoritmo formal.

3. O olhar dos alunos


Episódio

Ao lado, apresentamos o registro de Bruno para efetuar a operação 920 – 709

Tarefa 3
Expliquem o pensamento de Bruno. O que ele acerta? O que ele erra?

Nossas conclusões
Para preparar coletivamente um relatório deste dia de trabalho, não esqueçam de discutir:
• Pontos que merecem destaque, relacionados com as atividades realizadas (desafios, dificuldades,
 boas idéias, sugestões, inovações etc.);
• O produto coletivo das Tarefas Presenciais (TP);
• Uma breve avaliação do trabalho realizado.
Relatório de memória do grupo de trabalho Entregue este relatório e todos os materiais selecionados ao seu tutor.
 
 


Pró Letramento Matemática 5

Seção 3: Os fatos básicos e seu aprendizado


Realizando atividades como as propostas, ligadas às ações de juntar, acrescentar, retirar, comparar e completar, os alunos estarão aprendendo, simultaneamente, os fatos básicos dessas duas operações.

Mas o que é fato básico?
Quando numa operação empregamos números de um só algarismo, estamos diante de um fato básico. Em outras palavras, os fatos básicos são os cálculos de uma operação que devem ser realizados mentalmente, sem o auxílio do algoritmo. Aos poucos, o aluno deve memorizar estes resultados e ser capaz de aplicá-los em diversas situações.
Todas as sugestões feitas abaixo estão voltadas para desenvolver o pensamento matemático dos seus alunos e ajudá-los na aplicação das propriedades e na memorização dos fatos básicos. Daremos destaque à preparação do aluno para compor e decompor quantidades. Estas habilidades estão intimamente ligadas ao processo de aquisição dos fatos básicos e serão fundamentais para o bom desempenho nas operações de adição e subtração.
 
1. Conte histórias
E utilize material concreto para que os alunos, ao manipulá-lo, observem que uma mesma quantidade pode ser arrumada de várias maneiras. Estas atividades levam às várias decomposições
 e um número.

Apresentamos, a seguir, uma história que serve como exemplo para você, professora ou professor, utilizar e criar várias outras semelhantes. Numa primeira fase, as histórias devem ser apresentadas oralmente. Este tipo de atividade é também uma preparação para a resolução de problemas. Após a criança dominar o conceito da operação e seus fatos básicos e quando puder ler e interpretar pequenos textos você pode propor as mesmas histórias por escrito. Veja:

“João ganhou 6 bolas de gude e tem 2 bolsos para guardá-las. Mostre as várias maneiras que ele tem de guardar as 6 bolas nos bolsos”.

O aluno representa as diversas decomposições, usando material concreto, e registra suas experiências num quadro, que pode ser apresentado em folha de atividade.


2. Dominó da adição
Aqui a professora ou o professor pode confeccionar o material em cartolina. Um primeiro dominó pode incluir apenas os fatos básicos de soma até 5, para as crianças se familiarizarem com o jogo. Um segundo dominó, que inclua todas as somas até 9 terá muito mais peças e pode ser oferecido quando as estratégias
de jogo já não oferecerem qualquer dificuldade.

TI 16
Faça um planejamento de peças para montar um dominó da adição com todos os fatos básicos da soma até 5.U3. Adivinhe a carta escondida
Usar uma coleção de cartões com números e figuras (apenascartões até 5, no primeiro momento, e até 10 em seguida)dividindo-a entre dois alunos – A e B. Você pode também  utilizar as cartas não figuradas de um baralho para esta atividade. Em turnos, o aluno A abre um cartão na mesa e folha a carta seguinte do seu monte, sem mostrá-la a seu colega, o aluno B. Então, A anuncia o resultado da adição do valor das duas cartas – a que está à vista e a que está virada para baixo - para seu colega B que deve, então, descobrir o
valor da carta escondida.

Se A enunciar errado o resultado da adição que realizou (Por exemplo: 14, com os cartões acima),
ele impediu, com seu erro, que B acertasse qual o cartão escondido. Neste caso, ele perde os cartões para o colega B (que os guarda em um monte separado). Se A enunciar corretamente o resultado (no nosso exemplo: 15) podem acontecer duas hipóteses:
(a) B errar a resposta (por exemplo: achar que o cartão escondido é 7). Neste caso, o colega A, que propôs a adivinhação, ganha os cartões, ou
(b) B descobre corretamente o valor do cartão escondido (no nosso exemplo: 6). Neste caso, ele ganha os dois cartões.
Ganha o jogo o aluno que tiver conseguido mais cartões ao final do jogo.
TI 17


Qual a operação que o aluno B deve realizar para adivinhar a carta escondida? Você acha que esta atividade ajuda o aluno a compreender que a adição e a subtração são operações inversas? Por quê?
 
4.Conferindo resultados com a calculadora
O uso de recursos tecnológicos tem um fator de motivação bem grande para os alunos. Além disso, ao preparar nossos alunos para o mundo do trabalho e para o cotidiano do cidadão, é indispensável torná-los aptos a utilizar estes recursos. No caso da calculadora, ela pode contribuir para que o aluno utilize a notação correta nas operações neste estágio inicial, além de permitir a conferência dos resultados obtidos por eles. O fato de que crianças podem errar ao utilizar a calculadora também deve ser explorado, valorizando-se a habilidade de fazer estimativas e de utilizar o cálculo mental. Propomos o seguinte jogo:
Em turnos alternados, um aluno propõe um fato básico para seu colega. Os dois devem responder à pergunta por escrito e, após esta etapa, conferir o resultado usando a calculadora (a conta na calculadora deve ser feita pelo aluno que propôs o desafio). Ganha um ponto quem respondeu corretamente.
Para incentivar seus alunos a fazer estimativas e valorizar o cálculo mental, você pode estipular que, se o resultado da calculadora estiver incorreto, ganha 2 pontos quem descobrir este fato. Lembre-se...
Esse momento – de preparar a criança para a adição e a subtração – é de fundamental importância. Todas as atividades aqui propostas devem ser vivenciadas, concretamente, pela criança, até que você perceba que ela está compreendendo realmente os conceitos das operações. Você verá, então, como ela vai sentir-se segura e como tudo isso vai facilitar o aprendizado da Matemática nos estágios seguintes. Lembre-se também que, para o aluno vir a ser capaz de utilizar bem os algoritmos da adição e da subtração, é necessário não apenas o desenvolvimento de estratégias mentais que lhe permitam utilizar os fatos básicos com segurança, mas também um bom conhecimento das diversas possibilidades para decompor um número. Assim, as atividades propostas na seção 3 são de fundamental importância para a continuidade do
desenvolvimento de seus alunos em Matemática.

􀀗

Pró Letramento Matemática 4


Seção 3: A ordenação dos números naturais
Quando perguntamos a você qual dos dois números naturais abaixo é o maior
8768 e 20 211
você responde com facilidade. Isto acontece por ter compreendido uma das principais características
do sistema decimal de numeração para números naturais – quanto mais algarismos houver,
maior o número. É a compreensão de que nosso sistema é posicional que permite fazer
uma primeira ordenação dos números naturais, decidindo qual é maior.
Da mesma forma que o significado da representação decimal dos números tem de ser aprendido
pelos alunos, a ordenação destes números também necessita de tempo de trabalho e de reflexão,
e a professora ou o professor deve estar atento a isto.
O trabalho com material concreto contribui para a descoberta de critérios de comparação e ordenação
de quantidades. Fazendo corresponder a cada elemento de um grupo de objetos um
elemento de outro grupo, o aluno se torna capaz de ordenar as duas coleções pela quantidade
de objetos, decidindo se em uma delas há mais do que na outra, ou se ambas têm quantidades
iguais. Desta forma, estamos ajudando nossos alunos a dar significado a relações importantes:
“... há mais que ...”, “... há menos que ...”,
“... há tantos quanto ...”.

Por exemplo: Dê uma certa quantidade de lápis e outra de borrachas para uma dupla de alunos e pergunte se há mais lápis do que borrachas. A estratégia de emparelhar os objetos ajuda o aluno a responder a esta pergunta.
Ao associar a quantidade de objetos de cada uma das coleções a um número natural, o aluno estará construindo significado para a ordenação dos números. Outras relações importantes podem ser construídas: “qual vem antes de ...”, “qual vem depois de ...”, “qual vem imediatamente antes de ...”. Também é importante explorar perguntas tais como: “quantos a mais”, “quantos a menos”, etc. , que serão importantes para dar significado às operações com números naturais.
Usando as idéias de comparação de coleções e contagem dos elementos de cada coleção, elabore uma atividade de ordenação de números naturais para os alunos.

Seção 4: A reta numérica


A representação dos números em uma reta é um recurso valioso em Matemática. Experiências com este modelo podem se iniciar bem cedo, utilizando recursos concretos, como barbantes, passos sobre uma linha desenhada no chão, etc. Observe que a reta numérica ajuda a visualizar a ordenação dos números naturais.


Nas primeiras experiências, é importante iniciar sempre do zero e os alunos devem perceber que se deve usar espaços iguais entre as marcas que representam intervalos iguais. A reta numérica é um excelente apoio visual para as atividades de ordenação de números naturais. Por exemplo: Peça que os alunos marquem na reta os números 4, 7 e 11.

A reta numérica também contribui muito para ajudar seus alunos a compreender e realizar as operações com números naturais, como veremos no Fascículo 2.
Elabore uma atividade lúdica de ordenação de números naturais na reta numérica.
Seção 5: As centenas


Quando os alunos já estiverem trabalhando números com dois algarismos com mais facilidade, faça os agrupamentos com quantidades maiores que 99, utilizando o mesmo processo adotado até o momento. Nesta etapa, é fundamental enfatizar que a “regra do jogo” precisa ser mantida, ou seja, em nosso sistema de numeração usamos agrupamentos de 10 em 10. Assim, os alunos devem perceber que, ao completarem dez grupos de dez, é preciso fazer um novo agrupamento de outra ordem, ou seja, um grupão de grupos de dez. O novo grupão, que conterá 100 unidades ou dez dezenas, será representado por um algarismo em uma nova casa decimal, uma nova ordem.
Sugestão: Quando houver necessidade de uma quantidade muito grande de palitos, negocie com as crianças a troca de grupos e grupões por palitos coloridos. Mesmo assim, é preciso ter bastante material que represente as unidades e as dezenas, pois o aluno deve experimentar algumas  trocas concretamente. Por exemplo:

· 1 palito natural vale 1 unidade.

.1 palito vermelho vale 10 palitos naturais, logo, 10 unidades.

1 palito azul vale 10 vermelhos, ou seja, 100 naturais. Portanto, 100 unidades.
 
Descreva pelo menos quatro representações diferentes para o número 984 usando materiais concretos.
 
Seção 6: Outros recursos


Lembre-se de que nosso sistema de numeração levou séculos para ser construído. Portanto, é necessário que a criança vivencie de diversos modos esse aprendizado, com diversos materiais. Quanto mais modelos utilizar, mais o pensamento da criança se torna flexível e mais fácil será chegar a um conceito mais abstrato, que poderá ser usado em novas situações. A seguir, apresentamos alguns exemplos de materiais, dentre muitas possibilidades.
Este material, também conhecido como material montessoriano de contagem, é composto de cubos, barras e placas de madeira, de modo que:
Material Dourado

· um cubo pequeno, de 1 cm x 1cm x 1 cm, representa a unidade. ○ ○ ○

uma barra, com 10 cubos unidos, representa 1 dezena


uma placa com 100 cubos unidos (ou 10 barras unidas) representa a centena.

um cubo grande, com 1.000 cubos pequenos (ou 10 placas unidas ou 100 barras unidas) representa o milhar.


Se você encontrar dificuldade em conseguir os cubos e barras de madeira, use cartões em que os quadradinhos são desenhados, formando as unidades, dezenas e centenas. Em um segundo momento, as crianças podem também passar a representar este material na forma de desenhos – estas idéias e estas representações serão bem exploradas ao trabalharmos com as operações de números naturais, no Fascículo 2.

O Quadro Valor Lugar (QVL)

O QVL mostrado na ilustração ao lado, é um recurso que reforça o significado da representação posicional decimal. Ao montar uma tabela na qual estão indicadas claramente as ordens decimais (unidade, dezena, centena, etc.) o aluno pode fazer e desfazer agrupamentos, representar com desenho estes agrupamentos e dar significado aos números escritos no sistema decimal de numeração. O QVL deve acompanhar os alunos durante todo o
aprendizado do sistema decimal de numeração e dos algoritmos das operações com números naturais. Ele
ainda poderá voltar a ser utilizado quando este sistema for ampliado no estudo de decimais, para incluir as
ordens menores que a unidade (décimos, centésimos, etc.). Embora você deva, aos poucos, incentivar seus alunos a não usar sempre materiais concretos, tais recursos serão úteis toda vez que for introduzida uma nova ordem decimal, ou quando os alunos demonstrarem dificuldades na compreensão do valor posicional.

Explique por que é errado dizer que o número 28 tem 8 unidades. Quantas unidades tem 28? Qual é o significado correto do algarismo 8, em 28?
Explique por que é errado dizer que o número 234 tem 3 dezenas. Quantas dezenas tem 234? Qual é o significado correto do algarismo 3, em 234?

Elabore uma atividade, explorando recursos discutidos neste fascículo, para ajudar seus alunos a compreender que há unidades agrupadas nas dezenas, dezenas agrupadas nas centenas, e assim por diante.

Parte 2: Preparando para a adição e a subtração


A conceituação da operação de adição serve de base para boa parte de aprendizagens futuras em Matemática. A criança deve passar por várias experiências concretas envolvendo o conceito da adição para que ela possa interiorizá-lo e transferi-lo para a aprendizagem do algoritmo, que vem a ser um mecanismo de cálculo. A conceituação da operação de subtração deve ser feita paralelamente, já que em atividades concretas a exploração dos dois tipos de conceitos é muito natural. Além disso, não podemos deixar escapar a oportunidade que o aluno tem de ver, na prática, que a subtração e a adição são operações inversas. Por exemplo, quando reúne objetos para desenvolver o significado da adição, a criança sente que pode também separá-los. Assim, ela vê que se 4 + 2 = 6, vale também que 6 – 2 = 4.
Quando desenvolve o conceito de número, a criança verifica, por exemplo, que pode arrumar cinco palitos como “quatro e um” ou “três e dois”. Tais experiências devem ser enriquecidas, para que a criança possa registrá-las mais tarde, em linguagem matemática como: 4 + 1 = 5 e 3 + 2 = 5. A professora ou o professor terá de oferecer inúmeras oportunidades concretas para que a criança comece a exprimir experiências em linguagem matemática. Assim, quando ela escreve 4 + 3 = 7, esta ação deve refletir uma experiência e não uma simples informação
transmitida pela professora ou pelo professor.
 
Na seção 3 da Parte I, afirmamos que perguntas como: “quantos a mais” e “quantos a menos” ajudam a dar significado às operações. Discuta a qual operação cada uma destas perguntas está associada.
 
Seção 2: Ações associadas às operações de adição e subtração

A adição corresponde sempre a dois tipos básicos de ação: juntar (ou reunir) ou então acrescentar, enquanto a subtração corresponde às ações de: retirar, comparar ou completar. É muito importante que as crianças vivenciem experiências envolvendo todos estes tipos de ação. A dificuldade que os alunos sentem na resolução de problemas, expressada muitas vezes pela pergunta “que conta devo fazer?”, é causada, principalmente, pela falta de experiências concretas variadas. Atividades que envolvem a ação de juntar Utilize materiais concretos como chapinhas, palitos, botões, grãos e pedrinhas e uma folha de papel para cada aluno, na qual estão desenhados três círculos de cores diferentes (azul, vermelho e verde, por exemplo). Peça às crianças que coloquem 3 lápis no círculo vermelho e 2 no círculo azul. Feito isto, peça que juntem todos os lápis no círculo verde e pergunte: “quantos lápis estão reunidos no círculo verde?”.
Explore atividades lúdicas, como por exemplo o “jogo de esconder”. Neste jogo, distribua um certo número de objetos do mesmo tipo para cada dupla de alunos (podem ser 9 no primeiro 21 U mo mento, e mais tarde uma quantidade maior). Diga às crianças que o jogo tem as seguintes regras:
a) um aluno apresenta ao seu colega uma certa quantidade de fichas (ou do objeto que estiver sendo utilizando) arrumadas em dois grupos – as fichas não utilizadas permanecem escondidas da vista do outro jogador.
b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel.
c) O outro aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha.
d) Em seguida, os dois alunos levantam a folha e conferem o resultado. Para cada resultado correto será marcado um ponto para o jogador.
e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o aluno jogador. Depois os pontos são contados para se determinar o vencedor da partida.

Crie um jogo com a idéia de juntar e que possa ser desenvolvido na área externa de sua escola, envolvendo a participação corporal das crianças.

Atividades que envolvem a ação de acrescentar
Uma forma interessante de se trabalhar é contar histórias, usando, por exemplo, flanelogravuras. Por exemplo: “Havia 5 patinhos no lago”. Peça que um aluno venha à frente e prenda cinco patinhos no flanelógrafo, de forma que as outras crianças acompanhem a tarefa. Continue contando: “Chegaram mais dois patinhos”. Outro aluno deve fazer a ação de acrescentar os novos patinhos ao flanelógrafo. Pergunte então, no final: “quantos patinhos estão agora no lago?”. Ações de acrescentar são também bastante comuns em situações que ocorrem no cotidiano da sala de aula. A professora ou o professor atento pode registrar estas ocorrências e fazer perguntas.

Exemplifique pelo menos duas situações possíveis de ocorrer no cotidiano da sala de aula, nas quais a professora ou o professor pode chamar a atenção para a ação de acrescentar. Para cada uma delas, registre uma pergunta que a professora ou o professor pode fazer aos seus alunos.

Atividades que envolvem a ação de retirar

Usando o mesmo tipo de material adotado em atividades anteriores, proponha que um aluno  “coloque 5 borrachas dentro da caixa”. Depois, peça que ele “retire 3” e que, ao final, “verifique quantas ficaram na caixa”.

Dessa forma, estaremos sempre subtraindo elementos de um mesmo conjunto. Do total de 3 lápis (conjunto maior), retiramos 2 deles, que foram emparelhados com as 2 borrachas. Sobra 1 lápis. Este resultado diz “quantos a mais” há no conjunto maior. Utilize materiais diferenciados e proporcione muitas atividades de emparelhar objetos. Somente quando você perceber que a relação da ação de comparação com a subtração foi compreendida e está sendo corretamente utilizada, é que você poderá partir para generalizações, trabalhando com comparações nas quais os alunos não possam dispor os elementos dos dois conjuntos lado a lado.

TI 13

Elabore uma atividade de comparação na qual os alunos precisam ter interiorizado a idéia de comparar, pois não é possível dispor concretamente os elementos dos dois grupos lado a lado.

Atividades que envolvem a ação de completar

Para a criança, a utilização da subtração em situações de completar é ainda mais difícil. Quando precisamos descobrir quantos elementos faltam para completar um conjunto de objetos, a ação  completar está intimamente relacionada à ação de acrescentar. No entanto, a operação realizada é a subtração, e as crianças devem ser ajudadas a compreender POR QUE se usa a subtração para resolver esse tipo de situação, à qual uma idéia aditiva está associada. Aqui, para compreender que a subtração resolve esse tipo de situação-problema, o aluno deve ser levado a visualizar a quantidade total necessária e a retirada do que já tem deste total. Separando o conjunto de objetos disponíveis do total necessário, o aluno verá porque subtrai para encontrar a resposta.
Coloque no flanelógrafo (ou sobre uma mesa, ou em um mural) 2 agrupamentos de figuras, sendo que em um dos conjuntos faltam algumas figuras que estão no outro.
Peça a um aluno que complete o segundo grupo, levando-o a responder à seguinte questão:
“Quantas figuras você precisou colocar para que as quantidades ficassem iguais?”.
A ação de completar pode ser explorada em atividades nas quais os alunos tenham de completar uma tarefa já iniciada. Podemos utilizar folhas com desenhos para colorir ou completar: Veja:

TI 14

Elabore uma situação–problema envolvendo a ação de completar. Liste as perguntas que você deve fazer ao seu aluno.

Maria tem 4 vasos.
- “Quantos estão com plantas?”
- “Quantos estão vazios?”
- “Complete o trabalho de Maria, desenhando flores nos vasos vazios”.


Diante do problema de comparação: “Flávia tem 38 anos e sua filha, Duda, tem 13. Quantos anos a filha de Flávia tem a menos que ela?”, Clara apresentou a seguinte solução, apoiada na idéia de reta numérica:
Clara marcou na reta as duas idades (13 e 38) envolvidas no problema. Em seguida, marcou os números 20 e 30 e assinalou “saltos”, com os valores 7, 10 e 8, para sair de 13 e chegar a 38. Abaixo desta representação, a
aluna escreveu a resposta correta, ou seja, 25.
a) Clara realizou um cálculo mental para obter a resposta. Qual foi?
b) Por que você acha que Clara escolheu estes “saltos”?
c) Exemplifique outros “saltos” que uma criança poderia usar para chegar à resposta.
d) Que lhe parece mais natural: calcular 38-13 ou as ações de Clara? Por quê?


Forme, na frente da turma, uma fila de crianças (até 9). Peça a uma criança, que não esteja na fila, que observe a quantidade de crianças na fila e depois vire de costas. Sem falar, retire alguns alunos da fila e diga à criança de costas que se vire. Em seguida, pergunte:

- “Quantos alunos havia na fila?”
- “Quantos alunos ainda ficaram?”
- “Quantos saíram?”

Repita a atividade com outros alunos, sempre mudando o número de alunos da fila.
 
Em um problema de retirada, sempre há pelo menos três quantidades envolvidas:
(1) quanto havia antes da retirada; (2) quanto foi retirado e (3) quanto restou. Para

cada uma das duas sugestões feitas acima, reconheça qual dessas quantidades a

criança deve encontrar e quais são as quantidades conhecidas no problema.
 
Atividades que envolvem a ação de comparar
 
A ação de comparar não é do mesmo tipo que a ação de retirar. Considerando o grupo original dado, na ação de retirar uma parte era subtraída para se encontrar o resto. No entanto, numa ação comparativa como “Marcos tem 5 lápis e 2 canetas. Quantos lápis ele tem a mais do que canetas?”, as duas canetas não podem ser retiradas do conjunto de 5 lápis. A forma de criar situações para que a criança perceba que a operação de subtração é a que deve ser associada à comparação é o emparelhamento de objetos. Colocando os elementos dos dois
conjuntos, lado a lado, até que todos os elementos de um dos conjuntos tenham sido utilizados, a criança verá que a resposta (quantos a mais) é a quantidade de elementos que ficaram sem par. A ação concreta necessária para encontrar esta resposta é separar ou retirar os elementos do conjunto maior, que tiveram elementos correspondentes no conjunto menor. Assim, ele estará determinando o número de elementos do resto, e esta ação corresponde à determinação de quantos elementos a mais existem.